Question

9．若直线（m+l）x+（n+l）y-2=0（m，n∈R）与圆（x-l）²+（y-1）²=1相切，则m+n的取值范围是（　　）

• A． $[1-\sqrt{3}，1+\sqrt{3}]$
• B． $（-∞，1-\sqrt{3}]∪[1+\sqrt{3}，+∞）$
• C． $[2-2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}]$
• D． $（-∞，2-2\sqrt{2}]∪[2+2\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．

解答 解：由圆的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|m+n|}{\sqrt{（m+1）^{2}+（n+1）^{2}}}$=1，
整理得：m+n+1=mn≤$（\frac{m+n}{2}）^{2}$，
设m+n=x，则有x+1≤$\frac{{x}^{2}}{4}$，即x²-4x-4≥0，
∵x²-4x-4=0的解为：x₁=2+2$\sqrt{2}$，x₂=2-2$\sqrt{2}$，
∴不等式变形得：（x-2-2$\sqrt{2}$）（x-2+2$\sqrt{2}$）≥0，
解得：x≥2+2$\sqrt{2}$或x≤2-2$\sqrt{2}$，
则m+n的取值范围为（-∞，2-2$\sqrt{2}$]∪[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．
故选：D．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．