Question

15．如果过点M（-2，0）的直线l与椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
• C． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• D． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

Answer 1

分析 设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆方程联立，得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式能求出直线l的斜率k的取值范围．

解答 解：设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，
∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有公共点，
∴△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
整理，得k²$≤\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线l的斜率k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．