Question

在△ABC中，已知CA=2，CB=3，∠ACB=60°，CH为AB边上的高．设

.

CH

=m

.

CB

+n

.

CA

其中m，n∈R，则

m

n

等于

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：因为CA，CB的边长及它们的夹角已知，所以可以

CA

，

CB

为基底，然后根据垂直或共线的条件列出关于m、n的方程，应该可以得到m，n的比值．

解答： 解：∵CA=2，CB=3，∠ACB=60°，
∴

CA

•

CB

=2×3×cos60°=3，
又∵CH为AB边上的高，∴

CH

⊥

AB

，设

.

CH

=m

.

CB

+n

.

CA

其中m，n∈R，且

AB

=

CB

-

CA

，
∴

CH

•

AB

=0，即（m

.

CB

+n

.

CA

）•(

CB

-

CA

)=0，
∴m

CB

2+(n-m)

CB

•

CA

-n

CA

2=0，
化简得n=6m，
∴

m

n

=

1

6

．
故答案为

1

6

．

点评：利用平面向量解决平面几何问题，往往先选定基底，然后把题目中涉及到的已知、所求的量用基底表示，然后借助于共线、垂直、角度、模长等条件列方程求解．