Question

在矩形ABCD 中，AB=1，BC=

3

，点Q在BC边上，且BQ=

3

3

，点P在矩形内（含边界），则

AP

•

AQ

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由于|

AQ

|为定值，所以只需|

AP

|cos∠PAQ最大，于是将

AP

•

AQ

的最大值问题转化为向量

AP

在

AQ

上的射影的最大值问题，从而确定P点的位置，再计算此时

AP

•

AQ

的值即得结果．

解答： 解：由|

AQ

|=

|AB|2+|BQ|2

=

2 3

3

，
得

AP

•

AQ

=|

AP

|•|

AQ

|cos∠PAQ=

2 3

3

|

AP

|cos∠PAQ，
∴要使

AP

•

AQ

最大，只需向量

AP

在

AQ

上的射影最大，
显然，当点P与C重合时，射影最大．
过C作CE⊥AQ，交AQ的延长线于E，如右图所示，
由|CQ|=

3

-

3

3

=

2 3

3

=|AQ|，及∠AQB=∠CQE，
知Rt_△ABQ≌Rt_△CEQ，
∴|CE|=|AB|=1．
又矩形对角线长|AC|=

|AB|2+|BC|2

=2，
∴(|

AP

|cos∠PAQ)max=|AC|cos∠PAE=|AE|=

|AC|2-|CE|2

=

3

，
从而

AP

•

AQ

的最大值为

2 3

3

×|AE|=

2 3

3

×

3

=2．
故答案为2．

点评：本题考查了数量积的定义及几何意义，化归思想的运用，关键是抓住“变”与“不变”，将

AP

•

AQ

进行转化，并充分利用图形的几何特征才得以顺利求解．