Question

已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log₃（x+1），设关于x的不等式f[x²+a（a+2）]≤f（2ax+2x）的解集为A，函数f（x）在[-8，8]上的值域为B．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log₃（x+1）为增函数，
∴f（x）在[-8，8]上也为增函数，且f（8）=log₃（8+1）=log₃9=2，
即函数f（x）在[-8，8]上的值域为B=[-2，2]，
由f[x²+a（a+2）]≤f（2ax+2x）得x²+a（a+2）≤2ax+2x，
即x²-2（a+1）x+a（a+2）≤0，
则（x-a）[x-（a+2）]≤0，即a≤x≤a+2，
即A=[a，a+2]，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
∴A?B，
即

a≥-2 a+2≤2

，
解得-2≤a≤0，
故答案为：[-2，0]

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及函数奇偶性，定义域，值域的求解，综合考查函数的性质的应用．