Question

已知函数f（x）=9^x+a•3^x（a≤-2）
（1）若f（1）=0，求实数a的值；
（2）当0≤x≤1，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用已知条件结合f（1）=0，即可求实数a的值；
（2）利用换元法化简函数为闭区间上的二次函数，求出函数的对称轴，讨论对称轴的数值是否在区间内，即可求解当0≤x≤1，求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=9^x+a•3^x（a≤-2）f（1）=0，
∴9+3a=0，∴a=-3．            …（4分）
（2）f（x）=（3^x）²+a•3^x．
令 3^x=t，则1≤t≤3，g（t）=t²+at，对称轴 t=-

a

2

≥1． …（6分）
i）当1≤-

a

2

≤3，即-6≤a≤-2 时，
y （t）|_min=g （-

a

2

）=-

a2

4

，此时x=log3(-

a

2

)．
ii）当-

a

2

＞3，即a＜-6时，g （t） 在[1，3]上单调递减，
∴g （t）|_min=g（3）=3a+9，此时x=1．                       …（10分）
综上所述，当a＜-6时，f（x）|_min=3a+9；
当-6≤a≤-2时，f（x）|_min=-

a2

4

．…（12分）

点评：本题考查换元法以及二次函数在闭区间上的最值的求法，考查转化思想以及计数变量．