Question

1．在△ABC中，D为BC的中点，tan∠BAD=$\frac{1}{tan∠C}$，E为边AC上的一点，且AE=$\frac{1}{2}$EC，BE=2，则△ABC面积的最大值为3．

Answer 1

分析 由tan∠BAD=$\frac{1}{tan∠C}$，可得∠BAD+∠C=$\frac{π}{2}$，因此∠DAC+∠ABD=$\frac{π}{2}$．在△ADC中，$\frac{CD}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠ABD}$，可得sin2C=sin2∠ABD，∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=$\frac{π}{2}$，△ABC为等腰三角形或直角三角形．分类讨论，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：由tan∠BAD=$\frac{1}{tan∠C}$，∴∠BAD+∠C=$\frac{π}{2}$，∴∠DAC+∠ABD=$\frac{π}{2}$
在△ADC中，$\frac{CD}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，
在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠ABD}$，
可得sin2C=sin2∠ABD，
∴∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
设AE=x．
①当△ABC为直角三角形时，AB=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•3x•\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴${S}_{△ABC}^{2}$=$\frac{9}{4}$x²（4-x²）$≤\frac{9}{4}$$（\frac{{x}^{2}+4-{x}^{2}}{2}）^{2}$=9，当且仅当x=$\sqrt{2}$时等号成立．此时S_△ABC=3．
②当△ABC为等腰三角形时，S_△ABC=$\frac{1}{2}•3x•3x$sin∠BAC=$\frac{9}{2}{x}^{2}sin∠ABC$，
cos∠BAC=$\frac{9{x}^{2}+{x}^{2}-4}{2×3x×x}$=$\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}$，sin²∠BAC=1-$（\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}）^{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{9}{2}{x}^{2}$$\sqrt{1-（\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}）^{2}}$=3$\sqrt{-4{x}^{4}+5{x}^{2}-1}$$（\frac{1}{2}＜x＜1）$，
∴当x²=$\frac{5}{8}$时，S_△ABC有最大值$\frac{9}{4}$．
综上可得：△ABC面积的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．