Question

16．下列函数中是奇函数的为（　　）

• A． y=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$
• B． y=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$
• C． y=2^cosx
• D． y=lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）

Answer 1

分析 根据函数的定义域以及奇偶性的定义，对数的运算性质和三角函数的诱导公式对各选项做出判断．

解答 解：根据奇偶性定义对一下各函数逐个判断如下：
对于A选项，函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$，则f（-x）=$\frac{（-x）^2+cos（-x）}{（-x）^2-cos（-x）}$=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$=f（x），
所以，f（x）=$\frac{{x}^{2}+cosx}{{x}^{2}-cosx}$为定义域上的偶函数；
对于B选项，函数f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，该函数在x=$\frac{π}{4}$处无定义，在x=-$\frac{π}{4}$处有定义，
所以，f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$的定义域不关于原点对称，函数不具奇偶性；
对于C选项，函数f（x）=2^cosx，f（-x）=2^cos（-x）=2^cosx=f（x），
所以，f（x）=2^cosx，为定义域上的偶函数；
对于D选项，函数f（x）=lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$），
则f（x）+f（-x）=lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）+lg（-sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）=lg1=0，
所以，f（-x）=-f（x），f（x）为定义域上的奇函数，符合题意．
故答案为：D．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断，涉及函数的定义域以及奇偶性定义，对数的运算性质和三角函数的诱导公式，属于中档题．