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    已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影
    （1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC外心；
    （2）若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的内心；
    （3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的内心；
    （4）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的外心；
    （5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的垂心．
    其中正确命题的序号是
     
    （把你认为正确命题的序号都写上）
    考点：命题的真假判断与应用
    专题：简易逻辑
    分析：先跟据条件画出图形，通过直线与平面所成角、二面角以及直线与平面垂直，内角平分线判断出五个命题中得出垂心，外心，内心，正确命题即可．
    解答： 解：对于（1），如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
    若P到△ABC三个顶点的距离相等，由条件可证得OA=OB=OC，
    由三角形外心的定义可知，此时O是三角形ABC的外心，
    ∴命题（1）正确；
    对于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心，
    ∴命题（2）不正确．
    对于（3），在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，
    ∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点．三内角角平分线的交点，则O是△ABC的内心，
    ∴命题（3）正确；
    对于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．则O是△ABC的外心，命题（4）不正确．
    对于（5），连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；
    因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
    因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
    故AO⊥BC即AO⊥BC；
    同理：BO⊥AC；
    故O是△ABC的垂心．
    ∴命题（5）正确；
    故答案为：（1）（3）（5）．
    点评：本题考查三角形内的特殊点内心，外心，垂心，此是三角形常考的一种题型，同时考查了线面垂直的定义与三角形的全等等知识．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xoy中，以点P为圆心的圆与圆x2+y2-2y=0外切且与x轴相切（两切点不重合）．
    （1）求动点P的轨迹方程；
    （2）若直线mx-y+2m+5=0（m∈R）与点P的轨迹交于A、B两点，问：当m变化时，以线段AB为直径的圆是否会经过定点？若会，求出此定点；若不会，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（-2，0），C（2，0），直线AB，AC的斜率乘积为-
    1
    4
    ，设顶点A的轨迹为曲线E．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求
    S
    |k|
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法：
    ①“若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形”是真命题；
    ②“若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题；
    ③sin4＞cos4；
    ④函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期是π；
    ⑤在△ABC中，∠A＜∠B是cos2A＞cos2B的充要条件；
    其中错误的是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题中：①函数f(x)=sinx+
    2
    sinx
    (x∈(0，π))    的最小值是2
    		2
    ；
    ②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；
    ③如果正实数a，b，c满足a+b＞c，则
    a
    1+a
    +
    b
    1+b
    ＞
    c
    1+c
    ；
    ④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．
    其中正确的命题是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数y=
    2x
    x2+x+1
    的值域是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2α=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题中的假命题是（　　）
    A、?x∈R，2x＞0
    B、“|a|＞0”是“a＞0”的必要不充分条件
    C、“x＜2”是“|x|＜2”的充分不必要条件
    D、“?x0∈R，使得x2-x＞0”的否定是“?x∈R，都有x2-x≤0”

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）与双曲线
    x2
    m2
    -
    y2
    3-m2
    =1(0＜m2＜3)    有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线y2=2x于M、N两点，且OM⊥ON．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

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