Question

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线

x2

m2

-

y2

3-m2

=1(0＜m2＜3)有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线y²=2x于M、N两点，且OM⊥ON．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线l：ty=x-a，代入y²=2x，并整理，利用韦达定理，结合OM⊥ON，即可求椭圆E的方程；
（2）PA⊥PB，设P（x₀，y₀），将直线AD的方程y=

y0

4x0

(x+x0)-y0代入椭圆的方程，并整理，求出B的坐标，证明k_PA•k_PB=-1，即可得到结论．

解答： 解：（1）设点M（x₁，y₁），N(x2，

y

2

)．
设直线l：ty=x-a，代入y²=2x，并整理得y²-2ty-2a=0，
所以

y1+y2=2t y1•y2=-2a

 …（2分）
故有

OM

•

ON

=x1•x2+y1•y2=(ty1+a)(ty2+a)+y1•y2=(t2+1)y1y2+at(y1+y2)+a2
=（t²+1）（-2a）+at²+a²=a²-2a，解得a=2…（5分）
又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有c=

3

，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（7分）
（2）PA⊥PB．
证明：设P（x₀，y₀），则A（-x₀，-y₀），D(x0，-

1

2

y0)且x02+4

y

2 0

=4
将直线AD的方程y=

y0

4x0

(x+x0)-y0代入椭圆的方程，
并整理得(4x02+y02)x2-6x0

y

2 0

+9

x

2 0

y

2 0

-16

x

2 0

=0…（9分）
由题意，可知此方程必有一根-x₀，
xB=

6x0 y 2 0

4 x 2 0 + y 2 0

+x0，yB=

y0

4x0

(

6x0 y 2 0

4 x 2 0 + y 2 0

+2x0)-y0=

y 3 0 -2 x 2 0 y0

4 x 2 0 + y 2 0

，
所以kPB=

y 3 0 -2 x 2 0 y0 4 x 2 0 + y 2 0 -y0

6x0 y 2 0 4 x 2 0 + y 2 0

=

-6 x 2 0 y0

6x0 y 2 0

=-

x0

y0

…（12分）
故有k_PA•k_PB=-1，即PA⊥PB…（13分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．