Question

如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值。

 

 

Answer 1

（1）；（2）4.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、勾股定理、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先通过对称性得到B点坐标，利用两点间距离公式得的3个边长，利用勾股定理列出关系式，化简出离心率e的值；第二问，利用第一问知是边长为a的正三角形，利用三角形面积，得到a的值，从而得到b和c的值，由于，所以圆是以为圆心，为半径，则可直接写出圆的方程，因为点p到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，所以利用点到直线的距离公式计算即可.

试题解析：（1）

由及勾股定理可知，即

因为，所以，解得

（2）由（1）可知是边长为的正三角形，所以

解得

由可知直角三角形的外接圆以为圆心，半径

即点在圆上，

因为圆心到直线的距离为

故该圆与直线相切，所以点到直线的最大距离为

考点：椭圆的标准方程、勾股定理、点到直线的距离、直线与圆的位置关系.