Question

（Ⅰ）给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“R族数列”．证明：若数列{b_n}的前n项和为是Sn=n2+n，数列{b_n}是“R族数列”，并指出它对应的实常数p，q．
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a₁=2，an+an+1=2n(n∈N*)，求数列{a_n}前2013项的和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列{b_n}的前n项和为是Sn=n2+n，求出b_n=2n，利用“R族数列”的要领进行判断，能得到证明并求出对应的实常数p，q．
（Ⅱ）由a₁=2，an+an+1=2n(n∈N*)，利用累加求和法能求出数列{a_n}前2013项的和．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{b_n}的前n项和为是Sn=n2+n，
∴当n=1时，b₁=S₁=1+1=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
∵b₁=2也适合上式，
∴b_n=2n，（n∈N^*），
又∵bn+1=2(n+1)=bn+2，(n∈N*)，
∴数列{b_n}是“R族数列”，对应的实常数分别为p=1，q=2．
（Ⅱ）∵a₁=2，an+an+1=2n(n∈N*)，
∴a2+a3=22，a4+a5=24，…，
a2010+a2011=22010，a2012+a2013=22012．
∴S2013=a1+a2+a3+…+a2012+a2013=2+22+24+…+22012，
∴S2013=2+

4(1-41006)

1-4

=

22014+2

3

故数列{a_n}前2013项的和S2013=

22014+2

3

．

点评：本题考查“R族数列”的证明，考查数列的前2013项和的求法，是中档题，解题时要注意累加求和法的合理运用．