Question

18．已知圆C方程为：x²+y²=4．
（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若$|AB|=2\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）过点P（1，2）作圆C的切线，设切点分别为M，N，求直线NM方程．

Answer 1

分析 （1）分直线l垂直于x轴时和直线l不垂直于x轴两种情况，分别求出满足$|AB|=2\sqrt{3}$的直线方程，综合可得得答案；
（2）设切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则可得切线PM和PN的方程，进而可得直线NM方程．

解答 解：（1）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为$（1，\sqrt{3}）$和$（1，-\sqrt{3}）$，其距离为$2\sqrt{3}$满足题意；
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，则$2\sqrt{3}=2\sqrt{4-{d^2}}$，得d=1，
∴$1=\frac{|-k+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，$k=\frac{3}{4}$，故所求直线方程为3x-4y+5=0，
综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1．
（2）设切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则切线PM方程为x₁x+y₁y=4，
切线PN方程为：x₂x+y₂y=4，
因为点P在直线QM上，则x₁+2y₁=4，
同理可得x₂+2y₂=4，
所以直线MN的方程为x+2y=4．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，弦长公式，直线方程，难度中档．