Question

17．已知，焦点在x轴上的椭圆的上、下顶点分别为B₂、B₁，左焦点和右顶点分别为F、A₁．经过点B₂的直线l与以椭圆的中心为顶点、B₂为焦点的抛物线交于A、B两点，且点B₂恰为线段AB的三等分点，直线l₁过点B₁且垂直于y轴，线段AB的中点M到直线l₁的距离为$\frac{9}{4}$．若$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=1-2$\sqrt{3}$，则椭圆的标准方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1

Answer 1

分析 由抛物线的定义可知：丨AA′丨=丨AB₂丨，丨BB′丨=丨BB₂丨，丨AB丨=丨AB₂丨+丨BB₂丨，则丨AB丨=2丨MN丨=$\frac{9}{2}$，由点B₂恰为线段AB的三等分点，根据相似三角形的性质即可求得丨B₁B₂丨=2，即2b=2，b=1，B₂（0，1），F（-c，0），A₁（a，0），由$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=1-2$\sqrt{3}$，根据向量数量积的坐标运算，a²c²=12，由c²=a²-b²=a²-1，代入即可求得a的值，求得椭圆方程．

解答 解：设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可知：线段AB的中点M到直线l₁的距离为$\frac{9}{4}$，
由抛物线的定义可知：丨AA′丨=丨AB₂丨，丨BB′丨=丨BB₂丨，
∴丨AB丨=丨AB₂丨+丨BB₂丨，
∴丨AB丨=2丨MN丨=$\frac{9}{2}$，
由点B₂恰为线段AB的三等分点，
∴丨AA′丨=丨AB₂丨=$\frac{3}{2}$，丨BB′丨=丨BB₂丨=3，
由相似三角形的性质可知：丨B₁B₂丨=2，即2b=2，b=1，
则B₂（0，1），F（-c，0），A₁（a，0），
$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=（c，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=（-a，1），
$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=-ac+1，
由$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=1-2$\sqrt{3}$，则ac=2$\sqrt{3}$，a²c²=12，
由椭圆的性质可知：c²=a²-b²=a²-1，
代入可知：a²（a²-1）=12，整理得：a⁴-a²-12=0，
解得：a²=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆及抛物线性质的简单应用，考查相似三角形的性质，考查计算能力，属于难题．