Question

已知函数f（x）=kx+b的图象过点（2，1）且方向向量

ν

=(1，-1)，若不等式f（x）≥x²+x-5
的解集为A⊆（-∞，a]
（1）求a的取值范围；
（2）解不等式

x2-(a+3)x+2a+3

f(x)

＜1．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一次函数的性质与图象

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得

k=-1 2k+b=1

，可得 f（x）的解析式．由 f（x）≥x²+x-5求得A=[-4，2]．再根据[-4，2]⊆（-∞，a]，可得a的范围．
（2）不等式即（x-a）（x-2）（x-3）＞0，由（1）知 a≥2．再分当a=2、2＜a＜3、a=3、a＞3四种情况，分别求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=kx+b的图象过点（2，1）且方向向量

ν

=(1，-1)，
∴

k=-1 2k+b=1

⇒

k=-1 b=3

，
∴f（x）=-x+3．
∴由 f（x）≥x²+x-5⇒x²+2x-8≤0，
∴A=[-4，2]．
又[-4，2]⊆（-∞，a]，∴a≥2．
（2）

x2-(a+3)x+2a+3

f(x)

＜1⇒

x2-(a+3)x+2a+3

-x+3

＜1⇒

x2-(a+2)x+2a

x-3

＞0⇒（x-a）（x-2）（x-3）＞0，
由（1）知 a≥2．
当a=2时，不等式的解集为（3，+∞）；
当2＜a＜3时，不等式的解集为（2，a）∪（3，+∞）；
当a=3时，不等式的解集为（2，3）∪（3，+∞）；
当a＞3时，不等式的解集为（2，3）∪（a，+∞）．

点评：本题主要考查一次函数的性质，分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．