Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²-3m²x+1
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程
（2）若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（2）即为切线的斜率，再计算f（2），利用点斜式方程得出；
（2）令f′（x）≤0在（-2，3）上恒成立，根据二次函数的性质列出不等式组解出m的范围．

解答 解：（1）m=1时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1，
∴f′（x）=x²+2x-3，
∴切线的斜率k=f′（2）=5，又f（2）=$\frac{5}{3}$，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-$\frac{5}{3}$=5（x-2），
即15x-3y-25=0．
（2）∵f（x）在（-2，3）上是减函数，
∴f′（x）≤0在（-2，3）上恒成立，
即x²+2mx-3m²≤0在（-2，3）上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-4m-3{m}^{2}≤0}\\{9+6m-3{m}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得m≥3或m≤-2．

点评 本题考查了导数的几何意义，二次函数恒成立问题，属于中档题．