Question

等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).

（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.

Answer 1

（Ⅱ）在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时

解析试题分析：（Ⅰ）二面角为直二面角,要证平面；只要证；
（Ⅱ）假设存在点,使直线与平面所成的角为，根据直线与平面所成的角的定义作出
直线与平面所成的角，设的长为，用表示，在直角中，
根据勾股定理列出方程，若方程有解则存在，否则不存在.或借助已有的垂直关系；也可以为坐标原点建立空间直角标系,求出平面的一个法向量 ，利用建立方程，解这个方程探求 点的存在性.
试题解析：证明:(1)因为等边△的边长为3,且,
所以,. 在△中,,
由余弦定理得
. 因为,
所以.          3分
折叠后有,因为二面角是直二面角,
所以平面平面  ,又平面平面,
平面,, 所以平面.    6分

(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.
如图,作于点,连结、 ，
由(1)有平面,而平面,
所以,又, 所以平面,  
所以是直线与平面所成的角  ,          8分
设,则