Question

1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 取AB中点G，推导出∠GEF是异面直线EF与AC所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF与AC所成的角的大小．

解答 解：取AB中点G，连结AE、DE、GE、GF，
则AE=DE=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
GF=GE=$\frac{a}{2}$，GE∥AC，
∴∠GEF是异面直线EF与AC所成的角（或所成角的补角），
∴cos∠GEF=$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{2}{4}{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}{2×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠GEF=45°．
∴异面直线EF与AC所成的角为45°．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．