Question

（2013•房山区一模）已知函数f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx，g(x)=x2-2bx+

7

8

．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=

1

4

时，函数f（x）在（0，2]上的最大值为M，若存在x∈[1，2]，使得g（x）≥M成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=0时求出f（x），f′（x），f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）求出导数f′（x），分情况讨论：①a=0时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的单调区间；②a≠0时，解方程f′（x）=0得x=1或x=

1

a

，按照1与

1

a

的大小讨论，根据f′（x）的符号即可求得其单调区间；
（Ⅲ）当a=

1

4

时，借助（Ⅱ）问单调性易求得M，存在x∈[1，2]，使g(x)≥-

9

8

，等价于g(x)max≥-

9

8

，由二次函数的性质可得不等式组，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-x+lnx，
f（1）=-1+ln1=-1，f′(x)=-1+

1

x

，f'（1）=0．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=-1．
（Ⅱ）f′(x)=ax-(a+1)+

1

x

=

ax2-(a+1)x+1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

(x＞0)，
①当a=0时，解f′(x)=-

x-1

x

＞0，得0＜x＜1，解f′(x)=-

x-1

x

＜0，得x＞1，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为在（1，+∞）；
②a≠0时，令f'（x）=0得x=1或x=

1

a

，
i）当0＜a＜1时，

1

a

＞1，当x变化时f（x）、f′（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1））	1	(1， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		减		增

函数f（x）的递增区间为（0，1），(

1

a

，+∞)，递减区间为(1，

1

a

)；
ii）当a＜0时，

1

a

＜0，
在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=

1

4

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，
所以M=f(1)=-

9

8

，
存在x∈[1，2]，使g(x)≥-

9

8

，即存在x∈[1，2]，使x2-2bx+

7

8

≥-

9

8

，
只需函数g（x）在[1，2]上的最大值大于等于-

9

8

，
所以有

g(1)≥- 9 8 g(2)≥- 9 8

，即

1-2b+ 7 8 ≥- 9 8 4-4b+ 7 8 ≥- 9 8

，解得：b≤

3

2

，
所以b的取值范围是(-∞，

3

2

]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、某点处切线方程、在闭区间上的最值等知识，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，把存在性问题转化为最值问题是解决（Ⅲ）问的关键．