Question

二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量．

Answer 1

（1）（2），

试题分析：（1）由于二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点.所以通过假设二阶矩阵，其中有四个变量，根据以上的条件特征值与特征向量，以及点通过矩阵的变换得到的点，可得到四个相应的方程，从而解得结论.
（2）求矩阵M的特征值，根据特征多项式.即，可求得的值，即可得另一个特征值.即可写出相应的一个特征向量.
试题解析：（1）解：（1）设M=，则由=6得=，
即a+b=c+d=6． 
由=,得，从而a+2b=8，c+2d=4．
由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；
由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，
所以M=
（2）由（1）知矩阵的特征多项式为

令，得矩阵的特征值为6与．
当时，
故矩阵的属于另一个特征值的一个特征向量为．