Question

4．在△ABC中，已知tan（$\frac{A+B}{2}$）=sinC，给出以下论断：
①$\frac{tanA}{tanB}$=1；
②1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$；
③sin²A+cos²B=1；
④cos²A+cos²B=sin²C．
其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos $\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$进而求得A+B=90°，
进而求得tanA-cotB=tanA-tanA=0，可得①不正确；
②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，得②正确；
③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；
④利用同角三角函数的基本关系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等，得④正确．

解答 解：∵tan $\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos $\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A+B=90°．
对于①，由tanA=cotB，可得：tanAtanB=1，tanB不一定等于cotB，故①不正确．
对于②，由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
 由45°＜A+45°＜135°，故有 $\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，所以②正确．
对于③，sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A，不一定等于1，故③不正确．
对于④，∵cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C，所以④正确．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力，属于中档题．