Question

12．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据菱形的性质得出BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BE，故而BE⊥平面PAB，于是结论得证；
（II）设AC，BD交点为O，以O为原点建立坐标系，求出两个平面的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$，则|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|即为所求．

解答 （I）证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD的中点，∴BE⊥CD，
∵CD∥AB，∴BE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE，又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB，又BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB．
（II）设AC∩BD=O，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，
以平面ABCD过O的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（-$\frac{1}{2}$，0，0），
P（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），E（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．
设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），平面PBE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$．
∴∴$\left\{\begin{array}{l}{2{z}_{1}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}{y}_{2}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$．
令x₁=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，0），令x₂=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∵平面PAD和平面PBE所成二面角为锐角，
∴平面PAD和平面PBE所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间角的计算与空间向量的应用，属于中档题．