Question

给出以下命题：
（1）若∫_a^bf（x）dx＞0，则f（x）＞0；   
（2）∫₀^2π|sinx|dx=4；
（3）已知F′（x）=f（x），且F（x）是以T为周期的函数，则∫₀^af（x）dx=∫_T^a+Tf（x）dx；
（4）

∫

+3 -3

9-x2

dx=

9π

4

．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：（1）根据微积分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到与f（x）正负无关．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符号不同，根据微积分基本运算性质，化为∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判断．
（3）根据微积分基本定理，两边分别求解，再结合F（a+T）=F（a），F（T）=F（0）判定．
（4）根据定积分的几何意义，计算可得．

解答： 解：对于（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．故（1）错误．
对于（2））∫₀^2π|sinx|dx=

∫

π 0

sinxdx

+∫

2π π

(-sinx)dx=-cosx

|

π 0

+cosx

|

2π π

=2+2=4，故（2）正确；
对于（3）∫₀^af（x）dx=F（a）-F（0），∫_T^a+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），则∫₀^af（x）dx=∫_T^a+Tf（x）dx；故（3）正确
对于（4）

∫

+3 -3

9-x2

dx，表示的面积为圆x²+y²=9的面积的二分之一，故

∫

+3 -3

9-x2

dx=

1

2

×π×32=

9π

2

，故（4）错误
所以其中正确命题的个数为2个，
故选：B

点评：本题借助于命题真假的判断与应用，考查微积分基本定理，微积分基本运算性质．属于中档题．