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(14分)(2011•福建)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(I)求实数b的值;
(II)求函数f(x)的单调区间;
(III)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由.
(I)b=2
(II)当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);
(III)见解析

试题分析:(I)把x=e代入函数f(x)=﹣ax+b+axlnx,解方程即可求得实数b的值;
(II)求导,并判断导数的符号,确定函数的单调区间;
(III)假设存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点,转化为利用导数求函数y=f(x)在区间[,e]上的值域.
解:(I)由f(e)=2,代入f(x)=﹣ax+b+axlnx,
得b=2;
(II)由(I)可得f(x)=﹣ax+2+axlnx,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
从而f′(x)=alnx,
∵a≠0,故
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1;
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1;
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);
(III)当a=1时,f(x)=﹣x+2+xlnx,f′(x)=lnx,
由(II)可得,当x∈(,e),f(x),f′(x)变化情况如下表:

又f()=2﹣<2,
所以y=f(x)在[,e]上的值域为[1,2],
据此可得,若,则对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点;
并且对每一个t∈(﹣∞,m)∪(M,+∞),直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都没有公共点;
综上当a=1时,存在最小实数m=1和最大的实数M=2(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点.
点评:此题是个难题.主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力和抽象概括能力、运算求解能力,考查函数与方程思想,数形结合思想,化归和转化思想,分类与整合思想.其中问题(III)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
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