Question

证明函数f（x）=

x

x-1

在（1，+∞）是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设x₂＞x₁＞1，求得f（x₂）-f（x₁）=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0，即f（x₂）＜f（x₁），可得函数f（x）=

x

x-1

在（1，+∞）是减函数．

解答： 证明：∵函数f（x）=

x

x-1

=1+

1

x-1

，设x₂＞x₁＞1，
∵f（x₂）-f（x₁）=[1+

1

x2-1

]-[1+

1

x1-1

]=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

，
由题设可得 x₁-x₂＜0、x₂-1＞0、x₁-1＞0，
∴

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）=

x

x-1

在（1，+∞）是减函数．

点评：本题主要考查利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．