Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O和点P（-1，2），若曲线y=f（x）在P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且l的倾斜角为钝角．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer 1

分析：（1）由曲线y=f（x）过原点得d，由x=0是f（x）的极值点，得f'（0）=0，求得c，由夹角公式得f′（-1），再根据f（-1）=2可得a，b的方程组，解出即可；
（2）利用导数可求得f（x）的增区间，由题意可知，[2m-1，m+1]为f（x）增区间的子集，由此可得不等式，解出即可，注意2m-1＜m+1；
（3）由于对任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，只需证明f（x）_max-f（x）_min≤4；

解答：解：（1）∵曲线y=f（x）过原点，∴d=0，
∵f'（x）=3ax²+2bx+c，且x=0是f（x）的极值点，
∴f'（0）=0，解得c=0，
∵过点P（-1，2）的切线l的斜率为f'（-1）=3a-2b，
由夹角公式得：|

2-f′(-1)

1+2f′(-1)

|=1⇒f′(-1)=-3或f′(-1)=

1

3

（舍），
所以

f(-1)=-2 f′(-1)=-3

得

-a+b=2 3a-2b=-3

，解得

a=1 b=3

，
故f（x）=x³+3x²；
（2）f'（x）=3x²+6x=3x（x+2），
令f'（x）＞0即x（x+2）＞0，得x＞0或x＜-2，
∴f（x）的增区间为（-∞，-2]和[0，+∞]，
∵f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，
∴[2m-1，m+1]⊆（-∞，-2]或[2m-1，m+1]⊆[0，+∞），
∴

m+1≤-2 2m-1＜m+1

或

2m-1≥0 2m-1＜m+1

，解得m≤-3或

1

2

≤m＜2；
（3）令f'（x）=3x²+6x=3x（x+2）=0⇒x=0或x=-2，
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4，
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，
故对任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤M-N=4-0=4；

点评：本题考查利用导数研究函数的最值、极值，考查导数的几何意义，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．