Question

【题目】设函数f（x）= x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x，m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），m＞0，

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：x＜ ，

∴f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增

（2）解：f（x）与g（x）图象的交点个数，

即函数h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣ x2﹣mlnx+（m+1）x的零点个数问题，

h′（x）=﹣ ，

令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，

∴h（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，

∴h（x）极小值=h（1）=m+ ＞0，

∴h（x）和x轴有1个交点，

即函数f（x）与g（x）图象的交点个数是1个

【解析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣ x2﹣mlnx+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数h（x）的单调区间，求出h（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．