Question

椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

 

 

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析，.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到 或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.

试题解析：（1）由题： ①

左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分

由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分

∴所求椭圆 C 的方程为． 4分

（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得

(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．

∴，， 6分

且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．

∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分

所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)

= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4

= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ． 10分

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴ 或 m = －2k 都满足 △ > 0． 12分

若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分

若时，直线 l 为， 恒过定点 ． 14分

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.