Question

已知函数f（x）=a^|x|+2a^x（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）的最小值与a无关，求a的取值范围．

Answer 1

解：当x∈[0，+∞）时，f（x）=a^x+2a^x=3a^x．
∵a＞1，∴f（x）_min=f（0）=3．
当x∈[-2，0）时，f（x）=+2a^x．
∵a＞1，∴≤a^x＜1．
∵+2a^x≥2，当且仅当=2a^x，即a^x=时等号成立．
∴若＞，即1＜a＜，则f（x）_min=f（）=a²+，
若≤，即a≥，则f（x）_min=2．
又∵a²+＜3（否则，由a²+≥3，得（a²-1）（a²-2）＞0，又a＞1，所以a²＞2，即a＞，
即a＞，这与1＜a＜矛盾），
∴当1＜a＜时，f（x）_min=a²+；
当0＞a≥时，f（x）_min=2．
故当f（x）的最小值与a无关时，a的取值范围是[，+∞）．
分析：由题意，可分区间研究函数的最小值，当x∈[0，+∞）时与当x∈[-2，0）时，分别解出两个区间上函数的最小值，再由f（x）的最小值与a无关，确定出a的取值范围
点评：本题以指数型函数为载体，考查函数的最小值，分类讨论的思想，分区间研究函数的最小值是解题的关键，解答时要认真审题，谨慎作答，本题运算量较大，易出现计算错误．