Question

【题目】已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.

（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；

（Ⅱ）设集合，.

（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；

（ⅱ）记和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；

（Ⅱ）（ⅰ）对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），其中，1；，1，…，k，，使得，，1；，1，…，k，，考虑自然数p的个数即可得证；再证

，其中，1；，1；，1，…，k，，则.由反证法即可得证；

（ⅱ）考虑集合中元素为奇数，可为.

（Ⅰ）由，得是奇数，

当，时，，

所以，；

（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），

其中，1；，1，…，k，，

使得，，1；，1，…，k，，

由于，

这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过.

由，1；，1，…，k，，每个都有两种可能，

所以这种形式的自然数p共有个结果.

下证

，

其中，1；，1；，1，…，k，，则.

假设存在中，取i最大数为j，

则

，

所以不可能.

综上，任意正整数p可唯一表示为

显然，，

满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”.

（ⅱ）.