Question

已知椭圆O：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为e₁，动△ABC是其内接三角形，且

OC

=

3

5

OA

+

4

5

OB

．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为e₂，则（　　）

• A、e₁=e₂
• B、e₁＜e₂
• C、e₁＞e₂
• D、e₁e₂=1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程并利用

OC

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，可得C(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)．代入椭圆的方程可得

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0（定值）．再利用中点坐标公式可得D的坐标，计算

x 2 D

a2

+

y 2 D

b2

为定值即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1
由

OC

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得C(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)．
∵C是椭圆上一点，
∴

( 3 5 x1+ 4 5 x2)2

a2

+

( 3 5 y1+ 4 5 y2)2

b2

=1，
(

3

5

)2(

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

)+(

4

5

)2(

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

)+2(

3

5

)(

4

5

)(

x1x2

a2

+

y1y2

b2

)=1，
得 

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0（定值）．
 设D(x，y)，则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，
∴

x2

a2

+

y2

b2

=

( x1+x2 2 )2

a2

+

( y1+y2 2 )2

b2

=

1

4

(

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

)+

1

4

(

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

)=

1

2

，
∴e₁=e₂．
故选：A．

点评：本题考查了点与椭圆的位置关系、椭圆的性质、向量的坐标运算和数乘运算、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．