Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n=$\frac{{4{a_{n-1}}-4}}{{{a_{n-1}}}}$，记b_n=$\frac{1}{{{a_n}-2}}$．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{b_n}前n项和S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）将原式化简为a_n-2═2×$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$，根据b_n=$\frac{1}{{{a_n}-2}}$．得到b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，即可证明数列{b_n}是等差数列；
（2）求得{b_n}的通项公式和前n项和，利用二次函数性质，即可求得数列{b_n}前n项和S_n的最小值．

解答 解：（1）证明：a_n=$\frac{{4{a_{n-1}}-4}}{{{a_{n-1}}}}$，即a_n=4-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$，
∴a_n-2=2-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$=2×$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，
$\frac{1}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
∴b_n=$\frac{1}{2}$+b_n-1，即b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，
b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{1}{2}$为公差，以$\frac{1}{2}$为首项的等差数列；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{n}{2}$，
数列{b_n}前n项和S_n：S_n=$\frac{（\frac{1}{2}+\frac{n}{2}）}{2}×n$=$\frac{1}{4}{n}^{2}$+$\frac{1}{4}n$，
由二次函数性质可知，当n=1时取最小值，最小值为$\frac{1}{2}$．
数列{b_n}前n项和S_n的最小值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查根据递推公式求数列的等差数列通项公式及前n项和公式，需要学生有较强的分析问题，观察问题得能力，且技巧性较强，难度较大，属于中档题，