Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc
（1）求sinA的值；
（2）若a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理求出A的余弦函数值，然后求sinA的值；
（2）利用正弦定理表示b+c，利用两角和的正弦函数化简，通过B的范围求解三角函数的最大值．

解答： 解：（1）∵b²+c²=a²+bc，
∴a²=b²+c²-bc，
结合余弦定理知cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，∴sinA=

3

2

．…（6分）
（2）由a=2，结合正弦定理，得b+c=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC…（8分）
=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin(

2π

3

-B)…（9分）
=2

3

sinB+2cosB…（10分）
=4sin(B+

π

6

)，…（11分）
而B∈(0，

2π

3

)，所以B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
所以当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，b+c的最大值为4．…（13分）

点评：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．