Question

5．已知α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）且sin（α+2β）=$\frac{1}{3}$．若α+β=$\frac{2π}{3}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 由已知利用两角和的正弦函数公式化简可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosβ=$\frac{1}{2}$sinβ+$\frac{1}{3}$，两边平方，利用同角三角函数基本关系式化简整理可得sin²β+$\frac{1}{3}$sinβ-$\frac{23}{36}$=0，结合β的范围即可得解．

解答 解：∵α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）且sin（α+2β）=$\frac{1}{3}$．α+β=$\frac{2π}{3}$，
∴sin（α+2β）=sin（$\frac{2π}{3}$+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosβ-$\frac{1}{2}$sinβ=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosβ=$\frac{1}{2}$sinβ+$\frac{1}{3}$，
两边平方可得：$\frac{3}{4}$cos²β=$\frac{1}{4}$sin²β+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$sinβ，
又∵sin²β+cos²β=1，整理可得：sin²β+$\frac{1}{3}$sinβ-$\frac{23}{36}$=0，
∴解得：sinβ=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$，或$\frac{-2\sqrt{6}-1}{6}$（由于sinβ＞0，舍去）．
∴sinβ=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．