Question

10．已知袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球的编号为1，2，3，4，5，3个蓝球的编号为1，2，3，现从袋中任意取出3个小球．
（1）求取出的3个小球中，有小球编号为3的概率；
（2）记X为取出的3个小球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）由取出3球的方法有${C}_{8}^{3}$种，取出的3个小球中有小球编号为3的情况不便求解，可以先求取出的3个小球中没有编号为3的情况，进而得出结果．
（2）X的取值为2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．

解答 解：（1）设事件A为取出的小球有编号为3，取出的三个小球的取法为：${C}_{8}^{3}$=56种，
先求取出3个小球中没有编号为3的事件有：${C}_{6}^{3}$种，
∴P（A）=1-$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{14}$，
（2）X的取值为2，3，4，5；
P（X=2）=$\frac{4}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{14}$；
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{2}•{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{2}{7}$；
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$；
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}•{C}_{7}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，
X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{3}{8}$

X的数学期望E（X）=2×$\frac{1}{14}$+3×$\frac{2}{7}$+4×$\frac{15}{56}$+5×$\frac{3}{8}$=$\frac{221}{56}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．