Question

20．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，点A（-$\frac{π}{6}$，0）、B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（$\frac{7π}{12}$，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{EA}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）的值是（　　）

• A． 2π²
• B． π²
• C． 2
• D． 以上答案均不正确

Answer 1

分析 根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，利用周期性求得ω，可得C、B的坐标，再根据线段EF关于点B对称，利用两个向量的加减法及其几何意义求得要求式子的值．

解答 解：根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象可得$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-（-$\frac{π}{6}$），∴ω=2．
∵2•（-$\frac{π}{6}$）+φ=π，∴φ=$\frac{4π}{3}$，函数y=2sin（2x+$\frac{4π}{3}$），可得C（$\frac{5π}{6}$，0），
故AC的中点B（$\frac{π}{3}$，0）．
由题意可得线段EF关于点B对称，则（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{EA}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AE}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）
=2$\overrightarrow{AB}$•2$\overrightarrow{AC}$=4|AB|•|AC|=4•$\frac{T}{2}$•T=2T²=2•${（\frac{2π}{2}）}^{2}$=2π²，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的图象，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．