Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列结论：
①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC是钝角三角形；
④若$\frac{a}{{cos\frac{A}{2}}}$=$\frac{b}{{cos\frac{B}{2}}}$=$\frac{c}{{cos\frac{C}{2}}}$，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题的序号是①④．

Answer 1

分析 ①由正弦定理进行判断，
②根据两角和差的正切公式进行化简，
③利用特殊值法进行排除，
④利用正弦定理以及三角函数的倍角公式进行化简判断．

解答 解：①A＞B＞C，则a＞b＞c，由正弦定理得则sinA＞sinB＞sinC；故①正确，
②当C$≠\frac{π}{2}$或$A≠\frac{π}{2}$，$B≠\frac{π}{2}$时，-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanC}$，则tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，
当A，B，C，有一个为$\frac{π}{2}$时，tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC无意义，因此不正确；故②错误；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则当A=B=C=$\frac{π}{3}$时，满足sin²A+sin²B＞sin²C，但△ABC是钝角三角形；故③错误，
④若$\frac{a}{{cos\frac{A}{2}}}$=$\frac{b}{{cos\frac{B}{2}}}$=$\frac{c}{{cos\frac{C}{2}}}$，则$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}=\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}=\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$，即$\frac{2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{2sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{cos\frac{C}{2}}$，
即sin$\frac{A}{2}$=sin$\frac{B}{2}$=sin$\frac{C}{2}$，则在（0，$\frac{π}{2}$）上函数y=sinx为增函数，
∴$\frac{A}{2}$=$\frac{B}{2}$=$\frac{C}{2}$，则A=B=C，则△ABC是等边三角形，故④正确，
故答案为：①④

点评 本题考查了命题的真假判断，涉及正弦定理、两角和差的正切公式、解三角形的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．