Question

3．化简：
（1）$\frac{cosα}{1-sinα}$=$\frac{1+sinα}{cosα}$；
（2）$\frac{tanαsinα}{tanα-sinα}$=$\frac{tanα+sinα}{tanαsinα}$．

Answer 1

分析 （1）法一，利用sin² α+cos² α=1得出（1-sinα）（1+sinα）=cosα•cosα，从而证明等式成立；
法二，证明$\frac{cosα}{1-sinα}$-$\frac{1+sinα}{cosα}$=0，即可证明等式成立；
（2）利用作差法，证明$\frac{tanαsinα}{tanα-sinα}$-$\frac{tanα+sinα}{tanαsinα}$=0，即可证明等式成立．

解答 解：（1）法一：由sin² α+cos² α=1得，
1-sin² α=cos² α，即（1-sinα）（1+sinα）=cosα•cosα
∴$\frac{cosα}{1-sinα}$=$\frac{1+sinα}{cosα}$．
法二：$\frac{cosα}{1-sinα}$-$\frac{1+sinα}{cosα}$=$\frac{cosα•cosα-（1+sinα）（1-sinα）}{（1-sinα）cosα}$
=$\frac{{cos}^{2}α-1{+sin}^{2}α}{（1-sinα）cosα}$
=$\frac{1-1}{（1-sinα）cosα}$=0，
∴$\frac{cosα}{1-sinα}$=$\frac{1+sinα}{cosα}$；
（2）∵$\frac{tanαsinα}{tanα-sinα}$-$\frac{tanα+sinα}{tanαsinα}$=$\frac{\frac{sinα}{cosα}•sinα}{\frac{sinα}{cosα}-sinα}$-$\frac{\frac{sinα}{cosα}+sinα}{\frac{sinα}{cosα}•sinα}$
=$\frac{sinα}{1-cosα}$-$\frac{1+cosα}{sinα}$
=$\frac{{sin}^{2}α-（1+cosα）（1-cosα）}{（1-cosα）sinα}$
=$\frac{{sin}^{2}α-1{+cos}^{2}α}{（1-cosα）sinα}$
=$\frac{1-1}{（1-cosα）sinα}$=0，
∴$\frac{tanαsinα}{tanα-sinα}$=$\frac{tanα+sinα}{tanαsinα}$．

点评 本题考查了同角的三角函数基本关系的应用问题，也考查了逻辑推理能力与运算能力的应用问题，是基础题目．