Question

6．已知n为满足S=a+${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+${C}_{27}^{3}$+…+${C}_{27}^{27}$（a≥3）能被9整除的正数a的最小值，则（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中，系数最大的项为（　　）

• A． 第6项
• B． 第7项
• C． 第11项
• D． 第6项和第7项

Answer 1

分析 S=a+${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+${C}_{27}^{3}$+…+${C}_{27}^{27}$=a+（1+1）²⁷-${∁}_{27}^{0}$=（9-1）⁹+a-1=9$（{9}^{8}-{∁}_{9}^{1}{9}^{7}+…+{∁}_{9}^{8}）$+a-2，由a≥3，可得S能被9整除的正数a的最小值是a-2=9，a=11．
即n=11，$（x-\frac{1}{x}）^{11}$的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{11}^{r}$${x}^{11-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{11}^{r}$x^11-2r，只考虑r为偶数的情况，

解答 解：S=a+${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+${C}_{27}^{3}$+…+${C}_{27}^{27}$=a+（1+1）²⁷-${∁}_{27}^{0}$=2²⁷+a-1=8⁹+a-1=（9-1）⁹+a-1=9⁹-${∁}_{9}^{1}{9}^{8}$+…+${∁}_{9}^{8}$×9-1+a-1=9$（{9}^{8}-{∁}_{9}^{1}{9}^{7}+…+{∁}_{9}^{8}）$+a-2，
∵a≥3，∴S能被9整除的正数a的最小值是a-2=9，∴a=11．
∴n=11，
∴$（x-\frac{1}{x}）^{11}$的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{11}^{r}$${x}^{11-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{11}^{r}$x^11-2r，
只考虑r为偶数的情况，T₅=${∁}_{11}^{4}$x³，T₇=${∁}_{11}^{6}$x^-1，T₉=${∁}_{11}^{8}$x^-5，…，
可知：系数最大的项为第7项．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用、整除的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．