Question

11．已知集合{f（x）|f（x）=ax²-|x+1|+2a＜0，x∈R}为空集，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，+∞）
• B． [$\frac{{\sqrt{3}+1}}{4}$，+∞）
• C． [$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$）

Answer 1

分析 由题意知 ax²-|x+1|+2a≥0恒成立，再化恒成立问题为函数$g（x）=\frac{|x+1|}{{{x^2}+2}}$的最值问题，利用换元法化简$g（x）=φ（t）=\frac{|t|}{{{t^2}-2t+3}}$．从而讨论去绝对值号并确定函数的最值．

解答 解：∵集合{f（x）|f（x）=ax²-|x+1|+2a＜0，x∈R}为空集，
∴ax²-|x+1|+2a≥0恒成立，
∴$a\;≥\;\frac{|x+1|}{{{x^2}+2}}$，
设$g（x）=\frac{|x+1|}{{{x^2}+2}}$，
故a≥g（x）_max．
令t=x+1，则$g（x）=φ（t）=\frac{|t|}{{{t^2}-2t+3}}$．
①当t=0时，g（x）=φ（t）=0，∴a≥0．
②当t＞0时，g（x）=φ（t）=$\frac{t}{{t}^{2}-2t+3}$=$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-2}$≤$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
∴a≥$\frac{{\sqrt{3}+1}}{4}$；
③当t＜0时，g（x）=φ（t）=-$\frac{t}{{t}^{2}-2t+3}$=$\frac{1}{-t-\frac{3}{t}+2}$≤$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，
∴a≥$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$．
综上，取交集得a≥$\frac{{\sqrt{3}+1}}{4}$．
故选B．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题及转化思想的应用，同时考查了换元法与分类讨论的思想方法应用．