Question

10．设函数$f（x）=（{x-1}）{e^{x-1}}+\frac{a}{2}{x^2}$．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a≥-e，讨论函数f（x）的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a=0，a＞0，-e≤a＜0，结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．

解答 解：（1）函数f（x）定义域为R，f′（x）=x（e^x-1+a），
（i）若a≥0，当x＜0时，f′（x）＜0；当 x＞0时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．                            
（ii）若a＜0，令f′（x）=0，得x=0或x=1+ln（-a），
①a=-$\frac{1}{e}$时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在R上单调递增；
②当-$\frac{1}{e}$＜a＜0时，1+ln（-a）＜0，当x＜1+ln（-a）或x＞0时，f′（x）＞0，当1+ln（-a）＜x＜0时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，1+ln（-a）），（0，+∞）上单调递增，在（1+ln（-a），0）单调递减；
③当a＜-$\frac{1}{e}$时，1+ln（-a）＞0，当x＞1+ln（-a）或x＜0时，f′（x）＞0，当0＜x＜1+ln（-a）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，0），（1+ln（-a），+∞）上单调递增，在（0，1+ln（-a））单调递减；        
（2）当a=0时，函数f（x）只有一个零点x=1；                             
当a＞0时，由（1）得函数f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，且f（0）=-$\frac{1}{e}$＜0，f（1）=$\frac{a}{2}$＞0，
取x₀＜-3且x₀＜1+lna，则f（x₀）＞（x₀-1）a+$\frac{a}{2}$${{x}_{0}}^{2}$=$\frac{a}{2}$[${{（x}_{0}+1）}^{2}$-3]＞0，所以函数f（x）有两个零点；
当-$\frac{1}{e}$≤a＜0时，由（1）得函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（0）=-$\frac{1}{e}$＜0，f（2）=e+2a＞0，
而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．
当-e≤a＜-$\frac{1}{e}$时，由（1）得函数f（x）在（0，1+ln（-a））单调递减，在（1+ln（-a），+∞）上单调递增，
且f（1+ln（-a））＜f（0）=-$\frac{1}{e}$＜0，f（3）=2e²+$\frac{9}{2}$a≥2e²-$\frac{9}{2}$e＞0，
而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．