Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是∶1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值．

 

Answer 1

（1）＝1（2）见解析

【解析】

(1)设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)．由题意得

解得a2＝4，b2＝2.所以椭圆C的方程为＝1.

(2)证明：由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，)，则直线PB的方程为y－＝k(x－1)．由

得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0.

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

则xB＝1·xB＝，

同理可得xA＝，

则xA－xB＝，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝.

所以kAB＝＝为定值