Question

16．已知点A（-1，3），F是抛物线x²=4y的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为4；点M到直线x-y-2=0的距离的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MA|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，答案可得，利用点到直线的距离公式，结合配方法求出点M到直线x-y-2=0的距离的最小值

解答 解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，
∴要求|MA|+|MF|取得最小值，即求|MA|+|MD|取得最小，
当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，为3-（-1）=4．
点M到直线x-y-2=0的距离为$\frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（x-2）^{2}+1|}{\sqrt{2}}$，∴x=2时，取得最小值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：4；$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小是解题的关键．