Question

在f（x）=sinx、f（x）=2^x、f（x）=2x+1、f（x）=log₂x、f（x）=x²这五个函数中，四个正实数x₁、x₂、α、β满足x₁≠x₂、α≠β，则当|β-α|＞|x₂-x₁|时，使得不等式|f（β）-f（α）|＞|f（x₂）-f（x₁）|恒成立的函数的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件，结合不等式的性质，转化为直线斜率之间的关系，进而判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：不妨假设四个正实数x₁＜x₂＜α＜β，
则|β-α|＞|x₂-x₁|等价为β-α＞x₂-x₁＞0，
不等式|f（β）-f（α）|＞|f（x₂）-f（x₁）|等价为不等式f（β）-f（α）＞f（x₂）-f（x₁）＞0，
则根据不等式的性质可得（β-α）[f（β）-f（α）]＞（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，
即（β-α）[f（β）-f（α）]＞0，（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，
即α、β，x₁、x₂、的斜率k＞0，则函数此时单调递增，且kα，β＞kx1x2，
∵f（x）=sinx，f（x）=x²在R上不单调，∴不满足条件．
f（x）=2^x、f（x）=2x+1、f（x）=log₂x、在各自的定义域上是单调递增函数，满足条件．
故选：C

点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据不等式的性质以及斜率的几何意义判断函数是增函数是解决本题的关键．