Question

10．已知函数f（x）=ln（1+x）-mx
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln2（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=ln（1+x）-mx的导函数含参数m，故需对m分类讨论，得到当m≤0时，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-m＞0，此时f（x）没有极值；当m＞0时，解不等式f′（x）＞0与f′（x）＜0，即可得到函数的单调区间，进而得到函数f（x）的极值．
（2）由（1）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），得到$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln（1+$\frac{1}{n+1}$）+ln（1+$\frac{1}{n+2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n+（n+1）}$），整理上式，即可得证．

解答 解：∵f（x）=ln（1+x）-mx，（x＞-1）
∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-m，（x＞-1）
（1）①当m≤0时，f′（x）＞0，则f（x）为（-1，+∞）上的增函数，∴f（x）没有极值；
②当m＞0时，由f′（x）＞0得-1＜x＜$\frac{1}{m}$-1；由f′（x）＜0得x＞$\frac{1}{m}$-1．
则函数f（x）在（-1，$\frac{1}{m}$-1）上单调递增，在（$\frac{1}{m}$-1，+∞）上单调递减．
故当x=$\frac{1}{m}$-1时，f（x）有极大值，但无极小值．
综上可知，当m≤0时，f（x）没有极值；
当m＞0时，当x=$\frac{1}{m}$-1时，f（x）有极大值，但无极小值．
（2）由（1）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=$\frac{1}{k+1}$，得ln（1+$\frac{1}{1+k}$）＜$\frac{1}{1+k}$，
∴$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$
＞ln（1+$\frac{1}{n+1}$）+ln（1+$\frac{1}{n+2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n+（n+1）}$）
=ln（$\frac{n+2}{n+1}$）+ln（$\frac{n+3}{n+2}$）+…+ln（$\frac{n+n+1+1}{n+（n+1）}$）
=ln$\frac{2n+2}{n+1}$=ln2．
∴$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln2（n∈N^*）＞ln2．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的极值与函数的单调性，在研究函数的性质时要注意函数的定义域，并且利用函数的单调性证明不等式，这是高考考查的重点也是学生学习的难点．