Question

已知抛物线过点。

(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程；

(Ⅱ) 过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，点在抛物线的准线上，且满足直线平行轴，试判断坐标原点与直线的关系，并证明你的结论。

Answer 1

(Ⅰ) ，

(Ⅱ) 坐标原点在直线 上.

【解析】

试题分析：在求抛物线的方程式，注意将抛物线上的一个点的坐标带入抛物线的方程即可求得，对于第二问，注意答题的习惯，应该先写出点和直线的关系，再证明点在直线上，证明的时候就应用了三点共线的条件，应用的直线的斜率相等做的.

试题解析：（1） 将M(1，-2)代入y2=2px， 得(-2)2=2p·1，所以p=2.

故所求的抛物线C的方程为： 3分

其准线方程为x=-1. 4分

（2）判断坐标原点在直线上， 5分

现证明如下：依题意可设过F的直线l方程为：x=my+1（m），

设,

由得：

依题意可知，且 9分

又∵

又∵， ∴

即证坐标原点在直线 上 12分

（说明：直线l方程也可设为：y=k（x-1），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）

考点：抛物线的方程，抛物线的准线，点与直线的位置关系，证明三点共线的方法.