Question

7．如图，在矩形ABCD中，$AB=\sqrt{3}，BC=1$，将△ACD沿折起，使得D折起的位置为D₁，且D₁在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D₁C与平面ABC所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 设D₁在平面ABC的射影为O，求出D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，即可求出直线D₁C与平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：设D₁在平面ABC的射影为O，
由题意，CB⊥平面D₁CB，∴CD⊥D₁B，
∵D₁C=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴D₁B=$\sqrt{2}$，
∴$A{{D}_{1}}^{2}+B{{D}_{1}}^{2}$=AB²，
∴D₁B⊥D₁A，
由等面积可得D₁O•$\sqrt{3}$=1$•\sqrt{2}$，∴D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴直线D₁C与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{{D}_{1}O}{{D}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查直线D₁C与平面ABC所成角的正弦值，考查学生的计算能力，正确求出D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$是关键．