Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且f（x）•f（f（x）+

2

x

）=2，则f（1）=

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：

分析：由题意，令x=1求得f（1）的取值范围，
设f（1）=a，表示f（a+2）=

2

a

…①；
令x=a+2，得f（a+2）•f（f（a+2）+

2

a+2

）=2…②；
由①、②得f（

2

a

+

2

a+2

）=a …③；
即f（

2

a

+

2

a+2

）=f（1），得

2

a

+

2

a+2

=1，从而求出a即f（1）的值．

解答： 解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当x=1时，f（1）•f（f（1）+2）=2，
∴f（f（1）+2）=

2

f(1)

；
f（1）+2作为f（f（1）+2）的自变量的一个取值，它必须在定义域内，
∴f（1）+2＞0，
即f（1）＞-2；
设f（1）=a，（其中a＞-2），
∴f（a+2）=

2

a

…①；
令x=a+2（其中a＞-2），
代入f（x）•f（f（x）+

2

x

）=2中，
得f（a+2）•f（f（a+2）+

2

a+2

）=2…②；
把①代入②，得

2

a

•f（

2

a

+

2

a+2

）=2，
即f（

2

a

+

2

a+2

）=a …③；
∵a=f（1），
∴f（

2

a

+

2

a+2

）=f（1）；
把

2

a

+

2

a+2

和 1 分别看作函数f（x）的自变量的2个取值，
由于函数f（x）是单调函数，要使对应的函数值相等，自变量必须相等；
即

2

a

+

2

a+2

=1，
解得a=1+

5

或a=1-

5

；
∵1+

5

和1-

5

都大于-2，
∴两个数值都符合题意；
综上，f（1）=1+

5

或 f（1）=1-

5

；
故答案为：1±

5

．

点评：本题考查了利用函数的单调性与解析式求函数值的问题，是较难的题目．