Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），a_n+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{

tn-1

an+1

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n²（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若t＞0，证明数列{a_n}为单调递增数列．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

，由此能证明数列{

tn-1

an+1

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，从而求出a_n=

2tn-n-2

n

．
（Ⅱ）bn=n2(an+1)=2n(tn-1)=2ntn-2n，若t=0，则数列{b_n}的前n项和S_n=-n（n+1）；若t≠0，t≠±1，记数列{ntⁿ}的前n 项和 为T_n，Tn=t+2t2+3t3+…+ntn，由错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（III）t＞0，能推导出a_n+1-a_n＞0，由此能证明数列{a_n}为单调递增数列．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），
a_n+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

（n∈N^*），
∴

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

，…（2分）
记bn=

an+1

tn-1

，则bn+1=

2bn

bn+2

，b1=

a1+1

t-1

=

2t-2

t-1

=2，…（3分）
又

1

bn+1

=

1

bn

+

1

2

，

1

b1

=

1

2

，
∴数列{

tn-1

an+1

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列．…（4分）
∴

tn-1

an+1

=

1

2

n，
∴a_n=

2tn-n-2

n

．…（5分）
（Ⅱ）bn=n2(an+1)=2n(tn-1)=2ntn-2n，…（6分）
若t=0，则数列{b_n}的前n项和S_n=-n（n+1），…（7分）
若t≠0，t≠±1，记数列{ntⁿ}的前n 项和 为T_n，
则Tn=t+2t2+3t3+…+ntn，
由错位相减得Tn=

t(1-tn)

(1-t)2

-

ntn+1

1-t

，
从而Sn=

2t(1-tn)

(1-t)2

-

2ntn+1

1-t

-n(n+1)．…（10分）
（III）an+1-an=

2(tn+1-1)

n+1

-

2(tn-1)

n

=

2(t-1)

n(n+1)

[n(1+t+…+tn-1+tn)-(n+1)(1+t+…+tn-1)]
=

2(t-1)

n(n+1)

[ntn-(1+t+…+tn-1)]=

2(t-1)

n(n+1)

[(tn-1)+(tn-t)+…+(tn-tn-1)]
…（12分）
（1）若0＜t＜1，则t-1＜0，tⁿ-tⁱ＜0（i=0，1，…，n-1），从而a_n+1-a_n＞0； …（13分）
（2）若t＞1，则t-1＞0，tⁿ-tⁱ＞0（i=0，1，…，n-1），从而a_n+1-a_n＞0．
综上知，对任意t＞0，t≠1，数列{a_n}均为递增数列．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查数列是单调递增数列的证明，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．