Question

设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f（x）=2^x，g（x）=f^-1（x），数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

nf′(n)g′(n)

，n∈N₊，S_n是该数列的前n项的和，则[S_n-

1

2

]等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：求出函数f（x）的反函数，求出f（x）与g（x）的导数，代入a_n=

1

nf′(n)g′(n)

整理得到通项公式，求出和后得到S_n-

1

2

，结合[x]表示不超过x的最大整数得答案．

解答： 解：∵f（x）=2^x，g（x）=f^-1（x），
∴g（x）=log₂x．
f′（x）=2^xln2，g′(x)=

1

xln2

．
则a_n=

1

nf′(n)g′(n)

=

1

n•2nln2• 1 nln2

=

1

2n

，
∴Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
则[S_n-

1

2

]=[

1

2

-

1

2n

]=0．
故答案为：0．

点评：本题考查了函数的反函数，考查了导数的运算，训练了等比数列前n项和公式的应用，是中档题．